\documentclass{sig-alternate}

\begin{document}

\title{Revisitando la batalla de Iwo Jima}

\numberofauthors{2}

\author{
    \alignauthor
    Mui\~{n}a, Pablo\\
    \email{pmui\~{n}a@alu.itba.edu.ar} \\
    \ \\
    Valdivieso, Ignacio\\
    \email{ivaldivi@alu.itba.edu.ar} \\
}

\maketitle

\begin{abstract}
En este art\'{i}culo se analiza y modela el combate de guerra convencional, 
utilizando la batalla de Iwo Jima como caso de estudio. El objetivo del 
documento es simular la batalla bajo diferentes condiciones y extraer 
conclusiones de los resultados obtenidos. Tambi\'{e}n se consideran 
diferentes estrategias de refuerzos y se comparan los resultados 
de la batalla en cada caso.
\end{abstract}

\keywords{Modelo de combate, simulaci\'{o}n, guerra convencional, 
pol\'{i}ticas de refuerzo}

\section{Introducci\'{o}n}\label{introduccion}

La Batalla de Iwo Jima es uno de los combates m\'{a}s sangrientos de la 
Segunda Guerra Mundial, librado en la isla de Iwo Jima entre las fuerzas
 del ej\'{e}rcito de los Estados Unidos y las del Imperio del Jap\'{o}n. La 
batalla transcurri\'{o} de febrero a marzo de 1945, durante la Guerra 
del Pac\'{i}fico (1937-1945). Esta batalla es analizada y modelada a lo 
largo de este documento en las secciones que se mencionan a 
continuaci\'{o}n.

En la secci\'{o}n \ref{modelo} se presenta el modelo utilizado para la 
simulaci\'{o}n de combate convenvcional, y se estudia el mismo.

En la secci\'{o}n \ref{simulacion} se ajusta el modelo gen\'{e}rico de la
secci\'{o}n \ref{modelo} para el caso particular del combate de Iwo Jima
y se muestra la simulaci\'{o}n realizada.

En la secci\'{o}n \ref{refuerzos} se simulan diferentes estrategias de
refuerzos de las fuerzas estadounidenses y se analizan los resultados.

En la secci\'{o}n \ref{conclusiones} se presentan las conclusiones obtenidas
a partir de la realizaci\'{o}n de las simulaciones.

\section{Modelo utilizado}\label{modelo}

En el modelo de guerra convencional las p\'{e}rdidas de combate dependen solo
 del tama\~{n}o de la fuerza enemiga, por lo que se lo modela de la siguiente
 manera:

\begin{align}
\label{eq:1}
\dot{x} &= -ax -\alpha y + f(t) \\
\label{eq:2}
\dot{y} &= -by -\beta x + g(t)
\end{align}
donde $\alpha$ es el coeficiente de efectividad en combate de la fuerza $y$, 
y $\beta$ el de la fuerza $x$. Las constantes $a$ y $b$ representan las tasas
 unitarias de p\'erdidas operativas y $f(t)$ y $g(t)$ representan los 
refuerzos de ambas fuerzas.

Si se suponen despreciables las tasas de p\'{e}rdidas operativas y se considera
 que no hay refuerzos en ambas fuerzas se llega a las siguientes ecuaciones:
\begin{align}
\label{eq:3}
\dot{x} &= -\alpha y \\
\label{eq:4}
\dot{y} &= -\beta x 
\end{align}
escribiendo las ecuaciones \ref{eq:3} y \ref{eq:4} como 
$\frac{dx}{dt} = -\alpha y$ y $\frac{dy}{dt} = -\beta x$ respectivamente, se 
divide miembro a miembro para obtener:
\begin{equation}
\label{eq:5}
-\alpha x dx = -\beta y dy
\end{equation}
Integrando miembro a miembro se puede ver que:
\begin{equation}
\label{eq:6}
-\beta \frac{y^{2}}{2} + C =-\alpha \frac{x^{2}}{2} + D
\end{equation}
operando algebraicamente se obtiene:
\begin{equation}
\label{eq:7}
\alpha x^2 - \beta y^2 = K
\end{equation}
donde $K = 2 * (D - C)$ es una constante que permanece invariante en el tiempo
 y depende de las condiciones iniciales del sistema, las cuales son: los 
coeficientes de combate y las cantidades iniciales de tropas de cada
fuerza. La cantidad de tropas influye mas en el coeficiente $K$, porque la 
fuerza del ej\'{e}rcito es cuadr\'{a}ticamente proporcional a la cantidad de 
tropas, como se ve en la ecuacion \ref{eq:7}.

En la figura \ref{fig:kplot1} se pueden ver las curvas para distintos $K$ en el espacio
 de fases $x$, $y$ fijando $\alpha = 0.0544$ y $\beta = 0.0106$. Se puede ver 
que para un valor de $K > 0$ el combate es ganado por el ej\'{e}rcito $x$. 
Para el caso $K < 0$, el ej\'{e}rcito $y$ resulta el ganador del combate, 
mientras que para $K = 0$, el combate termina con la destrucci\'{o}n de ambos 
ej\'{e}rcitos.

En la figura \ref{fig:kplot2} se puede ver el espacio de fases $x$, $y$ en el caso de 
$\alpha = \beta = 0.0106$.

\begin{figure}[t]
\label{fig:kplot1}
\centering
\includegraphics[width=3.2in]{kplot1}
\caption{Espacio de fases $x$, $y$ para distintos valores de $K$}
\end{figure}

\begin{figure}[t]
\label{fig:kplot2}
\centering
\includegraphics[width=3.2in]{kplot2}
\caption{Espacio de fases $x$, $y$ para distintos valores de $K$}
\end{figure}

\section{Simulaci\'{o}n de la batalla}\label{simulacion}

Para simular la batalla de Iwo Jima se parte del modelo de guerra convencional 
que se puede ver en las ecuaciones \ref{eq:1} y \ref{eq:2}. Al no tenerse en 
cuenta las p\'{e}rdidas operativas de ning\'{u}na de las fuerzas, y al eliminar
 la funci\'{o}n de refuerzos japoneses ya que estos fueron nulos, se obtiene 
las ecuaciones \ref{eq:8} y \ref{eq:9}:
\begin{align}
\label{eq:8}
\dot{x} &= -\alpha y + f(t) \\
\label{eq:9}
\dot{y} &= -\beta x
\end{align}
donde $\alpha$ y $\beta$ son los coeficientes de efectividad de combate de las 
fuerzas estadounidenses y japonesas respectivamente, y $f(t)$ es la 
funci\'{o}n de pol\'{i}tica de refuerzos de Estados Unidos.

Para los coeficientes de efectividad en el combate se usan valores estimados a 
luego de finalizado el combate real: $\alpha =  0.0544 dia^{-1}$ y 
$\beta = 0.0106 dia^{-1}$.

En la tabla \ref{tab:fuerzas_am} se puede ver la funci\'{o}n $f(t)$ de 
pol\'{i}tica de refuerzos estadounidenses, que corresponde a las cantidades de 
soldados enviados en determinados momentos de la confrontaci\'{o}n. Estos datos
 son basados en n\'{u}meros hist\'{o}ricos.

\begin{table}[!t]
\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\caption{Fuerzas Norteamericanas}
\centering
\begin{tabular}{c c}
\hline
\hline
Tiempo ( d\'ias ) & Fuerza USA\\
\hline
7 &  66000\\
9 & 62000 \\
12 & 58500 \\
19 & 56200  \\
24 & 54000 \\
\hline
\hline
\end{tabular}
\label{tab:fuerzas_am}
\end{table}

Simulando el combate en base al modelo descripto se obtienen los datos que se 
pueden ver en la figura \ref{fig:sim1}.

\begin{figure}[t]
\label{fig:sim1}
\centering
\includegraphics[width=3.2in]{simulation1}
\caption{Simulaci\'{o}n de la batalla. Cantidad de tropas a lo largo del tiempo}
\end{figure}

Se puede ver que la cantidad de tropas obtenidas a partir de la simulaci\'{o}n 
muestra valores similares a los datos historic\'{o}s presentados en la 
tabla \ref{tab:fuerzas_am}. El segundo y tercer punto se encuentran m\'{a}s 
alejados de los valores obtenidos, pero esto ocurre porque al estar haciendo 
un modelo simplificado del combate real, no se tienen en cuenta todos los 
par\'{a}metros que pudieron haber influido en las cantidades de efectivos 
por ej\'{e}rcito. Tambi\'{e}n se puede obsevar la mayor influencia de la 
cantidad de tropas sobre la de los coeficientes de efectividad de combate en 
el modelo, ya que la efectividad de las tropas japonesas era cinco veces mayor 
que la efectividad de las de Estados Unidos, y la cantidad de tropas de los 
estadounidenses era menos de cuatro veces mayor que la cantidad de tropas japonesas.

La simulaci\'{o}n realizada concluye con las tropas japonesas alcanzando el 
valor $0$ en el d\'{i}a $36$. Si bien no ser\'{i}a realista asumir que las 
fuerzas japonesas fueron totalmente exterminadas, debido al bajo n\'{u}mero de 
prisioneros japoneses, y debido a la pol\'{i}tica japonesa de combate 
"ningun sobrerviviente japon\'{e}s", es razonable decir que en el d\'{i}a $36$ 
la batalla termina con la derrota japonesa.

\section{Pol\'{i}ticas de refuerzos}\label{refuerzos}

A continuaci\'{o}n se analizan dos pol\'{i}ticas de refuerzos alternativas a 
la implementada por los Estados Unidos. El modelo utilizado es el mismo que 
se presenta en la secci\'{o}n \ref{modelo}, y se var\'{i}an las cantidades de 
soldados enviados en cada momento del combate.

\subsection{Todos los refuerzos al comienzo}\label{estrategia1}

En esta pol\'{i}tica, se plantea enviar todas las tropas al combate, apenas 
comienza el mismo.

La simulaci\'{o}n debida a esta estrategia se observa en la figura 
\ref{fig:sim2}. En ella se puede ver que al mandar todas las tropas juntas se 
incurren en menos p\'{e}rdidas por parte del ej\'{e}rcito estadounidense, y se 
consigue terminar la batalla un d\'{i} entre uno y dos d\'{i}as antes. Esto se 
debe a que Estados Unidos aprovecha mejor la cantidad de sus tropas, que como 
se ve en la seccion \ref{modelo}, tiene mayor peso que el coeficiente de 
efectividad de combate.

Se debe aclarar que lo presentado es un modelo, y por ende una 
simplificaci\'{o}n de un sistema real. Esta estrategia no suele elegirse en 
combates reales, ya que podr\'{i}a no contarse con la cantidad total de tropas 
en el momento inicial, o podr\'{i}a no contarse con los medios para 
mobilizarlas hasta la zona de combate, o talvez no se tengan las proviciones 
necesarias para mantener a todas las tropas. Adem\'{a}s, esta t\'{a}ctica 
puede ser muy riesgosa, ya que todav\'{i}a no se conoce el desempe\~{n}o de 
las fuerzas en ese territorio.

\begin{figure}[t]
\label{fig:sim2}
\centering
\includegraphics[width=3.2in]{simulation2}
\caption{Estrategia 1. Cantidad de tropas a lo largo del tiempo}
\end{figure}

\subsection{Victoria japonesa}\label{estrategia2}

En esta pol\'{i}tica, se plantea enviar $18250$ soldados cada $13$ d\'{i}as 
de combate.

La simulaci\'{o}n debida a esta estrategia se observa en la figura 
\ref{fig:sim3}. En ella se puede ver que a diferencia de las estrategias 
anteriores (la real utilizada por las tropas estadounidenses y las simuladas 
en la secc\'{o}n \ref{estrategia1}), con esta pol\'{i}tica el ejercito vencedor
 es el japon\'{e}s.

Esta victoria se debe a que los estadounidenses env\'{i}an cuatro tandas de 
refuerzos separadas por un per\'{i}odo largo de tiempo como son trece d\'{i}as.
De esta manera, no logran aprovechar su superioridad en n\'{u}mero y son 
arrasados por la superioridad en combate del ej\'{e}rcito japon\'{e}s, a pesar 
de que con el cuarto refuerzo logran duplicar las tropas de jap\'{o}n en ese 
momento dado de la batalla.

Esta situaci\'{o}n podr\'{i}a haberse dado en el caso de que el ej\'{e}rcito 
estadounidense tuviera dificultades para ingresar en la zona del combate. De 
ser as\'{i}, hubiera sido imperativo para las tropas estadounidenses 
atrincherarse hasta contar con una superioridad num\'{e}rica lo suficientemente
 ventajosa para pelear con las tropas japonesas.

\begin{figure}[t]
\label{fig:sim3}
\centering
\includegraphics[width=3.2in]{simulation3}
\caption{Estrategia 2. Cantidad de tropas a lo largo del tiempo}
\end{figure}

\section{Conclusiones}\label{conclusiones}

Los datos obtenidos a partir del modelo que se utiliza para simular la batalla 
de Iwo Jima, se corresponden razonablemente con los datos historic\'{o}s que 
se presentan. Se puede observar a partir de estos datos y de la ecuaci\'{o}n 
\ref{eq:7}, que la cantidad de tropas tiene mayor peso en la determinaci\'{o}n 
de la potencia de un ej\'{e}rcito (cuadr\'{a}ticamente proporcional a la 
misma). Por esta raz\'{o}n, al haber enviado mas tropas, las fuerzas 
estadounidenses resultaron triunfadoras.

Las distintas pol\'{i}ticas de refuerzos sirven para resaltar este hecho: al 
enviar mayor cantidad de refuerzos en menos tiempo, se nota una mejora en el 
triunfo estadounidense (menos tropas perdidas, menos tiempo de batalla). Por 
otro lado, al prolongarse el tiempo entre env\'{i}o de tropas, los 
estadounidenses pierden su ventaja num\'{e}rica contra la efectividad de 
combate japonesa.

Resultar\'{i}a de inter\'{e}s ver como se resuelve el combate si se incluye 
en el modelo representado por las ecuaciones \ref{eq:8} y \ref{eq:9}, las 
p\'{e}rdidas operativas. En el caso de enviar mayor cantidad de refuerzos al 
mismo tiempo, se podr\'{i}a pensar en usar un coeficiente de p\'{e}rdida 
operativa mayor que en los otros casos.

\end{document}
